群的定义与基本性质
群的定义与基本性质
一、群的定义与基本性质
群的定义： 群是一个集合，配合一个二元运算，满足以下四个条件：
封闭性：对于群
G
G
G 中的任意元素
a
,
b
a, b
a,b，其运算结果
a
∗
b
a * b
a∗b 仍属于
G
G
G。
∀
a
,
b
∈
G
,
a
∗
b
∈
G
\forall a, b \in G, a * b \in G
∀a,b∈G,a∗b∈G结合性：群运算满足结合律，即对于群
G
G
G 中的任意元素
a
,
b
,
c
a, b, c
a,b,c，有：
(
a
∗
b
)
∗
c
=
a
∗
(
b
∗
c
)
(a * b) * c = a * (b * c)
(a∗b)∗c=a∗(b∗c)单位元素：存在一个单位元素
e
∈
G
e \in G
e∈G，使得对于任意
a
∈
G
a \in G
a∈G，有：
a
∗
e
=
e
∗
a
=
a
a * e = e * a = a
a∗e=e∗a=a逆元素：对于群
G
G
G 中的任意元素
a
a
a，存在逆元素
a
−
1
∈
G
a^{-1} \in G
a−1∈G，使得：
a
∗
a
−
1
=
a
−
1
∗
a
=
e
a * a^{-1} = a^{-1} * a = e
a∗a−1=a−1∗a=e 群的性质：
交换群（Abelian群）：如果群中的元素满足交换律，即对于任意
a
,
b
∈
G
a, b \in G
a,b∈G，有：
a
∗
b
=
b
∗
a
a * b = b * a
a∗b=b∗a 则称
G
G
G 为交换群。非交换群（非Abelian群）：如果存在
a
,
b
∈
G
a, b \in G
a,b∈G 使得
a
∗
b
≠
b
∗
a
a * b \neq b * a
a∗b=b∗a，则称
G
G
G 为非交换群。
二、群的例子
整数加法群
(
Z
,
+
)
(\mathbb{Z}, +)
(Z,+)：
该群由整数集
Z
\mathbb{Z}
Z 组成，群运算为加法。其单位元素为 0，任意整数
a
a
a 的逆元素是
−
a
-a
−a。显然，
Z
\mathbb{Z}
Z 是交换群。 对称群
S
n
S_n
Sn：
对称群
S
n
S_n
Sn 是由所有
n
n
n 个元素的排列构成的群。该群的运算是排列的组合。该群的单位元素是恒等置换（即不改变任何元素的置换），每个置换都有一个逆置换。 矩阵群
G
L
n
(
R
)
GL_n(\mathbb{R})
GLn(R)：
一般线性群：矩阵群
G
L
n
(
R
)
GL_n(\mathbb{R})
GLn(R) 是所有
n
×
n
n \times n
n×n 非奇异矩阵组成的群，运算为矩阵乘法。该群的单位元素是单位矩阵，矩阵的逆元素是其逆矩阵。
三、群的同构
同构群（Isomorphic Groups）：
如果存在一个双射映射
ϕ
:
G
1
→
G
2
\phi: G_1 \to G_2
ϕ:G1→G2，使得对于所有
a
,
b
∈
G
1
a, b \in G_1
a,b∈G1，有：
ϕ
(
a
∗
b
)
=
ϕ
(
a
)
∗
ϕ
(
b
)
\phi(a * b) = \phi(a) * \phi(b)
ϕ(a∗b)=ϕ(a)∗ϕ(b) 则称
G
1
G_1
G1 和
G
2
G_2
G2 是同构群。同构群具有相同的结构，换句话说，群的代数结构不会因为选择不同的群而改变。 判断两个群是否同构：
如果两个群的元素个数不同，则它们不可能同构。如果两个群是交换群，且它们的阶数（元素个数）相同，那么它们有可能是同构群。可以通过构造同构映射，来判断两个群是否同构。
四、课堂活动
1. 举例说明常见的群：整数加法群、矩阵群等，讨论其结构
活动内容：
整数加法群：验证整数加法群是否满足群的四个条件，计算一些例子，如：
0 是单位元素。任意整数的逆元素：
a
−
1
=
−
a
a^{-1} = -a
a−1=−a。验证结合性和封闭性。 矩阵群：对于
2
×
2
2 \times 2
2×2 矩阵群
G
L
2
(
R
)
GL_2(\mathbb{R})
GL2(R)，计算几个矩阵的乘法，并检查其是否满足群的四个条件。
2. 通过具体问题引导学生理解群的性质
活动内容：
设计一个问题，要求学生通过判断给定的运算是否满足群的条件，从而验证其是否是群。举例：给定集合
G
=
{
0
,
2
,
4
}
G = \{0, 2, 4\}
G={0,2,4} 和运算“加 2 mod 6”，判断该集合是否构成群。
五、Python代码实现示例
判断群的四个条件： 通过简单的Python代码判断一个集合及其运算是否满足群的四个条件。
import numpy as np
# 定义集合和运算
G = [0, 2, 4]
mod = 6
# 封闭性：验证加法模6
def is_closed(G, mod):
for a in G:
for b in G:
if (a + b) % mod not in G:
return False
return True
# 结合性：验证加法模6的结合性
def is_associative(G, mod):
for a in G:
for b in G:
for c in G:
if ((a + b) % mod + c) % mod != (a + (b + c) % mod) % mod:
return False
return True
# 单位元素：存在一个单位元素e，使得a + e = a
def has_identity(G, mod):
for e in G:
if all((a + e) % mod == a for a in G):
return e
return None
# 逆元素：每个元素都有一个逆元素
def has_inverses(G, mod, e):
for a in G:
if not any((a + b) % mod == e for b in G):
return False
return True
# 验证群的条件
e = has_identity(G, mod)
if e is not None and is_closed(G, mod) and is_associative(G, mod) and has_inverses(G, mod, e):
print("该集合及运算满足群的四个条件！")
else:
print("该集合及运算不满足群的条件。")
矩阵群的示例：
import numpy as np
# 定义矩阵群
def is_invertible(matrix):
return np.linalg.det(matrix) != 0
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[2, 0], [0, 1]])
# 判断A和B是否为可逆矩阵
if is_invertible(A) and is_invertible(B):
print("矩阵A和B都是可逆矩阵。")
else:
print("矩阵A或B不是可逆矩阵。")
总结
通过这节课，将掌握群的定义、基本性质、群的例子、群的同构等内容。