积分法则

积分积分 可以用来求面积、体积、中点和很多其他有用的东西。它时常是用来求 函数曲线下面的面积的方法。像这样：

很多函数的积分都是众所周知的，也有很多有用的法则来帮助我们去求较为复杂的函数的积分，包括在下面列出的一些法则。

我们也会用一些 例子 来说明。

常用函数

函数

积分

常数

∫a dx

ax + C

变量

∫x dx

x2/2 + C

平方

∫x2 dx

x3/3 + C

倒数

∫(1/x) dx

ln|x| + C

指数

∫ex dx

ex + C

∫ax dx

ax/ln(a) + C

∫ln(x) dx

x ln(x) − x + C

三角法 （x 的单位是 弧度）

∫cos(x) dx

sin(x) + C

∫sin(x) dx

-cos(x) + C

∫sec2(x) dx

tan(x) + C

法则

函数

积分

乘以常数

∫cf(x) dx

c∫f(x) dx

幂次数法则 (n≠-1)

∫xn dx

xn+1/(n+1) + C

和法则

∫(f + g) dx

∫f dx + ∫g dx

差法则

∫(f - g) dx

∫f dx - ∫g dx

分部积分法

见 分部积分法

换元法则

见 换元积分法

例子

例子：sin(x) 的积分是什么？

从上面的列表，答案是 −cos(x) + C

写成：

∫sin(x) dx = −cos(x) + C

幂次方法则

例子：∫x3 dx 是什么？

问题是 "x3 的积分是什么？"

我们可以用幂次方法则，设 n=3

∫xn dx = xn+1/(n+1) + C

∫x3 dx = x4/4 + C

例子：∫√x dx 是什么？

√x 等于 x0.5

我们可以用幂次方法则，设 n=½:

∫xn dx = xn+1/(n+1) + C

∫x0.5 dx = x1.5/1.5 + C

乘以常数

例子：∫6x2 dx 是什么？

我们可以把 6 移到积分外面：

∫6x2 dx = 6∫x2 dx

接着用幂次方法则来求 x2 的积分：

= 6 x3/3 + C

简化：

= 2x3 + C

和法则

例子： ∫cos x + x dx 是什么？

用和法则：

∫cos x + x dx = ∫cos x dx + ∫x dx

求每项的积分（用上面的表）：

= sin x + x2/2 + C

差法则

例子： ∫ew − 3 dw 是什么？

用差法则：

∫ew − 3 dw =∫ew dw − ∫3 dw

T求每项的积分（用上面的表）：

= ew − 3w + C

和法则、差法则、乘以常数和幂次方法则

例子： ∫8z + 4z3 − 6z2 dz 是什么？

用和法则和差法则：

∫8z + 4z3 − 6z2 dz =∫8z dz + ∫4z3 dz − ∫6z2 dz

常以常数：

= 8∫z dz + 4∫z3 dz − 6∫z2 dz

幂次方法则：

= 8z2/2 + 4z4/4 − 6z3/3 + C

简化：

= 4z2 + z4 − 2z3 + C

分部积分法

见 分部积分法

换元法则

见 换元积分法

积分

代数索引