概率论基础 —— 8.数学期望、方差、协方差
我们在学习了离散型和连续型随机概率事件，以及它们的分布函数和密度概率函数之后。接下来我们要学习对概率事件进行评判的技术——期望、方差、协方差。 这些概念有什么用呢，举例来说，对于一次期末考试，如何评估同一个年级的不同班级的学生的学习状况差异，如何找出年级最优班级和最差班级呢，以及在两个班级整体状况都相差不大时，如何比较一个班级学生成绩情况比另一个班级更好呢？ 如果还记得我们前面提到过的概率分布函数，那么就可以知道这一类样本的比较，其实属于对样本的分布规律的分析。
文章目录
期望 (Expectation)方差 (Variance / Square Difference)均方差（Mean Variance / Mean Square）标准差（Standard Deviation）关于期望、方差数学符号表示需要注意的一点
协方差(Covariance / Correlation Coefficient)例题例1例2
常用分布的数学期望和方差
期望 (Expectation)
只要样本遵循一定的分布，比如说打靶落入靶上的落点就一定分布在靶心周围。又比如加工一批零件，比如笔记本上常见的m2螺丝，加工出来的螺丝精度一定在标准设计尺寸上轻微浮动。
对于数学期望来说，如果统计的事件样本它本身遵循一定分布规律，那么它必然有朝着某个值收敛的特征，着这就是期望。
计算数学期望的方法其实很简单，就是算概率均值，所以在一些数学统计库（程序）里，相关的函数名字可能叫mean（均值），或者expect（期望）。
它的计算方法，对于离散和连续基本是相似的，其数学表示符号是
E
(
X
)
E(X)
E(X)：
离散型
E
(
X
)
=
∑
x
i
p
i
E(X) = \sum x_i p_i
E(X)=∑xipi
x
i
x_i
xi，
k
i
k_i
ki分别表示样本值，和样本出现概率。
连续型
E
(
X
)
=
∫
x
f
(
x
)
d
x
E(X) = \int x f(x) dx
E(X)=∫xf(x)dx
f
(
x
)
f(x)
f(x)学了之前的章节应该认识，它就是概率密度。
方差 (Variance / Square Difference)
我们用期望，计算样本通常收敛在什么值的范围，自然还需要关心样本之间的误差范围。以最开始用来举例的班级期末考试为例，学校需要知道某个年级的A，B，C，D四个班级成绩情况，如果计算期望后，发现它们都收敛在80分左右，那么就需要另外一个指标帮助判断各班级的学习情况
在期望都是80分的情况下，学生们的成绩越接近，说明班级同学的差异越少。反之，则说明班级里有学习特别好的人和特别差的人，对于成绩好的学生他们有可能有参加额外的课外补习，而成绩差的有可能放学后放羊的更多。
对于前一种情况，我们从学校的角度来看，说明该班级的负责老师，教育水平不错，管理能力也不错，学生们受到了足够且充分的教育。而后一种情况，既有可能是老师的水平不行，也有可能是班级同学间的家庭差异过大导致的异常。
那么从数学上，一眼看出两组样本在统计上的差异，通常就会用到所谓方差的概念。
Variance 的英文语义是值的样本差异，而方差则是国内根据样本计算方法给予的命名，即平方差，样本与期望之间差的平方，计算方式也大体上差不多。
离散型
D
(
X
)
=
∑
(
x
i
−
μ
)
2
D(X) = \sum (x_i - \mu)^2
D(X)=∑(xi−μ)2
连续型
D
(
X
)
=
∫
(
x
−
μ
)
2
f
(
x
)
d
x
D(X) = \int (x - \mu)^2 f(x) dx
D(X)=∫(x−μ)2f(x)dx
μ
\mu
μ 在这里都表示期望。此外，我们有一个快速计算方差的公式：
D
(
X
)
=
E
(
X
2
)
−
E
2
(
X
)
D(X) = E(X^2) - E^2(X)
D(X)=E(X2)−E2(X)
即：平方的期望减去期望的平方。
快速计算方差的公式
D
(
X
)
=
E
(
X
2
)
−
E
2
(
X
)
D(X) = E(X^2) - E^2(X)
D(X)=E(X2)−E2(X) 的推导过程其实是从方差的定义出发，通过简单的代数变换得到的。以下是详细的推导过程：
方差的定义。方差
D
(
X
)
D(X)
D(X) 定义为随机变量
X
X
X 与其期望
E
(
X
)
E(X)
E(X) 之间差异的平方的期望，即：
D
(
X
)
=
E
[
(
X
−
E
(
X
)
)
2
]
D(X) = E[(X - E(X))^2]
D(X)=E[(X−E(X))2]展开平方。我们首先对括号中的表达式进行展开：
D
(
X
)
=
E
[
X
2
−
2
X
⋅
E
(
X
)
+
E
(
X
)
2
]
D(X) = E[X^2 - 2X \cdot E(X) + E(X)^2]
D(X)=E[X2−2X⋅E(X)+E(X)2] 这里用了平方的展开公式
(
a
−
b
)
2
=
a
2
−
2
a
b
+
b
2
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
(a−b)2=a2−2ab+b2，其中
a
=
X
a = X
a=X 和
b
=
E
(
X
)
b = E(X)
b=E(X)。期望的线性性质。期望运算符
E
[
⋅
]
E[\cdot]
E[⋅] 是线性的，因此我们可以将期望作用在每一项上：
D
(
X
)
=
E
[
X
2
]
−
2
E
[
X
⋅
E
(
X
)
]
+
E
[
E
(
X
)
2
]
D(X) = E[X^2] - 2E[X \cdot E(X)] + E[E(X)^2]
D(X)=E[X2]−2E[X⋅E(X)]+E[E(X)2]简化表达式。接下来，我们对公式进行简化： 对于第二项
E
[
X
⋅
E
(
X
)
]
E[X \cdot E(X)]
E[X⋅E(X)]，因为
E
(
X
)
E(X)
E(X) 是一个常数，可以将其提到期望运算符外：
E
[
X
⋅
E
(
X
)
]
=
E
(
X
)
⋅
E
(
X
)
=
E
(
X
)
2
E[X \cdot E(X)] = E(X) \cdot E(X) = E(X)^2
E[X⋅E(X)]=E(X)⋅E(X)=E(X)2 对于第三项
E
[
E
(
X
)
2
]
E[E(X)^2]
E[E(X)2]，因为
E
(
X
)
E(X)
E(X) 是常数，因此其平方也是常数，可以直接简化为：
E
[
E
(
X
)
2
]
=
E
(
X
)
2
E[E(X)^2] = E(X)^2
E[E(X)2]=E(X)2 将这些代入方差的表达式中，我们得到：
D
(
X
)
=
E
[
X
2
]
−
2
E
(
X
)
2
+
E
(
X
)
2
D(X) = E[X^2] - 2E(X)^2 + E(X)^2
D(X)=E[X2]−2E(X)2+E(X)2合并项。我们合并同类项：
D
(
X
)
=
E
[
X
2
]
−
E
(
X
)
2
D(X) = E[X^2] - E(X)^2
D(X)=E[X2]−E(X)2 因此，我们得到了快速计算方差的公式。
均方差（Mean Variance / Mean Square）
此外，从方差还引申出均方差的概念，也就是对方差算平均值，在随机下降算法中被应用在评判模型与观测值的误差程度。
D
(
X
ˉ
)
=
D
(
X
)
n
D(\bar{X}) = \frac{D(X)}{n}
D(Xˉ)=nD(X)
标准差（Standard Deviation）
方差的开根号形式，记得好像中学教材中用的挺多，但是对于科研和实际工作中因为其形式就是方差的开根号形式，所以反而不常用。数学符号通常用
σ
\sigma
σ表示，方差的数学符号通常用
σ
2
\sigma^2
σ2，均方差在传统的数学论文中不怎么常见，所以印象中好像没有专门的符号表示，而在AI领域的论文中通常以简写MSE（Mean Square Equation）或者（Mean Square Error）即均方差误差，形式表示。
另外补充一点，在算法、数据挖掘、AI等领域中，PDF不是指那个看文件的软件，通常指概率密度函数（ Probability Density Function）。你看，没用的知识点是不是又增加了一点？
σ
=
D
(
X
)
=
σ
2
\sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{\sigma^2}
σ=D(X)
=σ2
关于期望、方差数学符号表示需要注意的一点
另外多说一点，就是在一些论文或者之前提到过的《五种重要的概率分布模型》 中，期望有时候又被写成
λ
\lambda
λ， 而方差一般习惯性用
σ
2
\sigma ^2
σ2 进行表示，因此对于标准差，就是
σ
\sigma
σ 了。
苏联体系、英美体系在很多科学技术上符号的应用上很多没有得到有效的统一（这不仅仅在数学，物理学，电学等诸学科里都有所体现），或者形成个统一的世界规范。这对于做科研，比如在阅读文献的时候会造成一定的混淆。
所以，这要求我们在学习这些知识时，一定要理解公式背后的数学含义。而不能简简单单的死记公式。
协方差(Covariance / Correlation Coefficient)
方差是协方差的一种，不过协方差更多的是表示两个变量的变化趋势是否一致。也就是说如果其中一个大于自身的期望值，另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值。 如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个大于自身的期望值，另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。
协方差的计算公式为：
C
o
v
(
X
,
Y
)
=
E
[
(
X
−
μ
x
)
(
Y
−
μ
y
)
]
Cov(X, Y) = E [ (X - \mu_x)(Y - \mu_y) ]
Cov(X,Y)=E[(X−μx)(Y−μy)]
或者
C
o
v
(
X
,
Y
)
=
E
[
(
X
−
E
(
X
)
)
(
Y
−
E
(
Y
)
)
]
Cov(X, Y) = E[(X - E(X))(Y- E(Y))]
Cov(X,Y)=E[(X−E(X))(Y−E(Y))] 也就是X和Y分别与它的期望的差的积。
而从协方差中会得到引申，就是关联系数，即：
ρ
=
C
o
v
(
X
,
Y
)
σ
x
σ
y
\rho = \frac{Cov(X, Y)}{\sigma_x \sigma_y}
ρ=σxσyCov(X,Y)
这里的
σ
\sigma
σ 是标准差的意思，还有另外的一个表达形式：
ρ
=
C
o
v
(
X
,
Y
)
D
(
X
)
D
(
Y
)
\rho = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}}
ρ=D(X)
D(Y)
Cov(X,Y)
这里都是一个意思，只是表达形式上的差异。它有几个等式，其实非常容易推导并证明，你只要把这几个符号代表的函数式代入就能得到了。
C
o
v
(
X
,
Y
)
=
C
o
v
(
Y
,
X
)
Cov(X, Y) = Cov(Y, X)
Cov(X,Y)=Cov(Y,X)
C
o
v
(
X
,
X
)
=
D
(
X
)
Cov(X, X) = D(X)
Cov(X,X)=D(X)
D
(
X
+
Y
)
=
D
(
X
)
+
D
(
Y
)
+
2
C
o
v
(
X
,
Y
)
D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X, Y)
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)
C
o
v
(
X
,
Y
)
=
E
(
X
Y
)
−
E
(
X
)
E
(
Y
)
Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)
Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)
最后，来做一点题吧
例题
例1
设一电路中电流
I
(
A
)
I(A)
I(A) 与电阻
R
(
Ω
)
R(\Omega)
R(Ω) 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为：
g
(
i
)
=
{
2
i
0
≤
i
≤
1
0
e
l
s
e
g(i) = \left \{ \begin{matrix} 2i & 0 \leq i \leq 1 \\ 0 & else \end{matrix} \right.
g(i)={2i00≤i≤1else
h
(
r
)
=
{
r
2
9
0
≤
r
≤
3
0
e
l
s
e
h(r) = \left \{ \begin{matrix} \frac{r^2}{9} & 0 \leq r \leq 3 \\ 0 & else \end{matrix} \right.
h(r)={9r200≤r≤3else 试求电压V=IR的均值。
解
扯一点题外话，这类问题在电路中比较常见，比如说直流纹波。比如电路是通过交流电转直流后，经过交变直电路后，多少会存在纹波现象。此外，电路中因为电磁干扰，信号电路也会产生纹波现象。还有，电阻通电后，由于温度、电压变化，也会出现其伏安特性的变化。
这题比较简单，总的来说就是求期望值/均值。只要我们记得对于连续型随机变量，其均值/期望值是如何求解的公式，就能比较容易做出这道题了。
E
(
V
)
=
E
(
I
R
)
=
∫
i
g
(
i
)
d
i
⋅
∫
r
h
(
r
)
d
r
E(V) = E(IR) = \int i g(i)di \cdot \int r h(r)dr
E(V)=E(IR)=∫ig(i)di⋅∫rh(r)dr
带入题干给出的密度公式，和积分范围：
E
(
V
)
=
2
3
i
3
∣
0
1
⋅
1
36
r
4
∣
0
3
=
(
2
3
)
(
9
4
)
=
3
2
V
E(V) = \frac{2}{3} i^3 \bigg|_0^1 \cdot \frac{1}{36} r^4 \bigg |_0^3 = (\frac{2}{3})(\frac{9}{4}) = \frac{3}{2} V
E(V)=32i3
01⋅361r4
03=(32)(49)=23V
例2
随机变量
X
X
X 的分布律如下：
X012P0.40.30.2
求 (1)
E
(
X
)
E(X)
E(X); (2)
Y
=
X
2
Y = X^2
Y=X2， 求 E(Y); (3) D(X)
解（1）， 第一题很简单，直接带入离散型的期望公式
E
(
X
)
=
∑
x
i
p
i
=
0
∗
0.4
+
1
∗
0.3
+
2
∗
0.2
=
0.7
E(X) = \sum x_i p_i = 0 * 0.4 + 1 * 0.3 + 2 * 0.2 = 0.7
E(X)=∑xipi=0∗0.4+1∗0.3+2∗0.2=0.7
解（2），这题跟我们之前做离散型的分布律是一样的，先写出Y的分布律
X012Y014P0.40.30.3
所以
E
(
Y
)
=
0
∗
0.4
+
1
∗
0.3
+
4
∗
0.3
=
1.5
E(Y) = 0 * 0.4 + 1 * 0.3 + 4 * 0.3 = 1.5
E(Y)=0∗0.4+1∗0.3+4∗0.3=1.5
解（3），我们直接引用公式
D
(
X
)
=
E
(
X
2
)
−
E
2
(
X
)
D(X) = E(X^2) - E^2(X)
D(X)=E(X2)−E2(X)，所以有：
D
(
X
)
=
1.5
−
0.
7
2
=
1.01
D(X) = 1.5 - 0.7^2 = 1.01
D(X)=1.5−0.72=1.01
常用分布的数学期望和方差
再就是这个别人总结的常用数学期望和方差表
还有就是期望和方差的一些计算公式，如果记不住也没关系，可以直接用公式快速的推导。
另外，关于协方差涉及到一些其他知识点，我们在下一章里再见！