1. 什么是对称矩阵？

1. 定义

对称矩阵是一个特殊的方阵，其满足： a i j = a j i a_{ij} = a_{ji} aij​=aji​ (其中 i , j i, j i,j 为矩阵元素的位置索引)

即：矩阵关于主对角线对称。数学表达式为： A = A T A = A^T A=AT

2. 形式示例

一个 3×3 的对称矩阵形式：

A = [ a 11 a 12 a 13 a 12 a 22 a 23 a 13 a 23 a 33 ] A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{bmatrix} A=

​a11​a12​a13​​a12​a22​a23​​a13​a23​a33​​

​

具体数值示例： [ 1 2 3 2 4 5 3 5 6 ] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{bmatrix}

​123​245​356​

​

3. 主要性质

特征值性质

所有特征值都是实数

不同特征值对应的特征向量正交

可对角化性质

对称矩阵一定可以对角化

存在正交矩阵 P P P 使得： P − 1 A P = D P^{-1}AP = D P−1AP=D 其中 D D D 是对角矩阵

矩阵运算性质

对称矩阵之和仍是对称矩阵

对称矩阵的数乘仍是对称矩阵

对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵

对称矩阵的幂仍是对称矩阵

迹的性质

迹等于所有特征值的和

迹等于主对角线元素的和

4. 实际应用

协方差矩阵

在统计学和机器学习中广泛使用

描述变量之间的相关性 Σ = [ σ 11 σ 12 σ 12 σ 22 ] \Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} \\ \sigma_{12} & \sigma_{22} \end{bmatrix} Σ=[σ11​σ12​​σ12​σ22​​]

惯性矩阵

在物理学中描述刚体转动

表示质量分布

图的拉普拉斯矩阵

在图论中表示节点连接关系

用于谱聚类等算法

5. 判断方法

判断一个矩阵是否为对称矩阵：

直接判断

检查 a i j = a j i a_{ij} = a_{ji} aij​=aji​ 是否对所有 i , j i, j i,j 成立

转置判断

计算矩阵的转置

检查 A = A T A = A^T A=AT 是否成立

代码示例：

import numpy as np

def is_symmetric(matrix):

# 判断矩阵是否为对称矩阵

return np.array_equal(matrix, matrix.T)

# 测试示例

A = np.array([[1, 2], [2, 1]])

print(is_symmetric(A)) # True

6. 关键应用

二次型

对称矩阵在二次型中起核心作用

二次型可表示为： Q ( x ) = x T A x Q(x) = x^TAx