1. Ch11 气体动理论

1.1. 理想气体与相关公式

理想气体状态方程：

pV=MμRT,p=nkTp V = \dfrac{M}{\mu} RT , \quad p=nkTpV=μM​RT,p=nkT

理想气体压强公式：

p=13nmv2‾=23nεt‾p = \dfrac{1}{3} nm \overline{v^2} = \dfrac{2}{3} n \overline{\varepsilon_t}p=31​nmv2=32​nεt​​

理想气体温度公式：

εt‾=32kT\overline{\varepsilon_t} = \dfrac{3}{2} k Tεt​​=23​kT

1.2. 麦克斯韦气体分子速率分布

速率分布函数：f(v)=dNNdvf(v) = \dfrac{\text d N}{N \text dv}f(v)=NdvdN​，满足归一化条件：∫0∞f(v)dv=1\displaystyle\int_0^\infty f(v) \text dv = 1∫0∞​f(v)dv=1。

气体分子的最概然速率：是速率分布函数取极大值的速率，即有 dfdv∣v=vp=0\left.\dfrac{\text d f}{\text dv}\right|_{v=v_p} = 0dvdf​∣∣​v=vp​​=0，解得

vp=2kTm=2RTμv_p = \sqrt{\dfrac{2kT}{m}} = \sqrt{\dfrac{2RT}{\mu}}vp​=m2kT​​=μ2RT​​

气体分子的平均速率：用于研究气体分子平均自由程及迁移现象等：

v‾=∫0∞vf(v)dv=8kTπm=8RTπμ\overline{v} = \displaystyle\int_0^{\infty} v f(v) \text dv = \sqrt{\dfrac{8kT}{\pi m}} = \sqrt{\dfrac{8RT}{\pi \mu}}v=∫0∞​vf(v)dv=πm8kT​​=πμ8RT​​

气体分子的方均根速率：用于研究理想气体压强及分子平均平动动能等：

v2‾=(∫0∞v2f(v)dv)=3kTm=3RTμ\sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\left( \displaystyle\int_0^\infty v^2 f(v) \text dv \right)} = \sqrt{\dfrac{3kT}{m}} = \sqrt{\dfrac{3RT}{\mu}}v2​=(∫0∞​v2f(v)dv)​=m3kT​​=μ3RT​​

三种速度大小的比率关系：

vp:v‾:v2‾=2:8π=3v_p : \overline{v} : \sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{2} : \sqrt{\dfrac{8}{\pi}} = \sqrt{3}vp​:v:v2​=2​:π8​​=3​

2. Ch12 热力学基础

2.1. 准静态过程

准静态过程：过程进行中的所有中间状态都无限接近于平衡态。

准静态过程中理想气体做功：

W=∫V1V2pdVW = \displaystyle\int_{V_1}^{V_2} p \text d VW=∫V1​V2​​pdV

热量：

Q=MμCm(T2−T1)Q = \dfrac{M}{\mu} C_m (T_2 - T_1)Q=μM​Cm​(T2​−T1​)

理想气体的热力学能增量：

ΔE=E2−E1=MμCV,m(T2−T1)\Delta E= E_2 - E_1 = \dfrac{M}{\mu} C_{V,m} (T_2-T_1)ΔE=E2​−E1​=μM​CV,m​(T2​−T1​)

2.2. 热力学第一定律

Q=ΔE+W⟺dQ=dE+dWQ = \Delta E+W \Longleftrightarrow \text d Q = \text d E+\text d WQ=ΔE+W⟺dQ=dE+dW

2.2.1. 热容量

热容量：C=dQdTC=\dfrac{dQ}{dT}C=dTdQ​。

摩尔热容：Cm=1vdQdtC_m = \dfrac{1}{v} \dfrac{\text dQ}{\text dt}Cm​=v1​dtdQ​。

理想气体定体摩尔热容：CV,m=i2RC_{V,m} = \dfrac{i}{2} RCV,m​=2i​R。

理想气体定压摩尔热容：Cp,m=i+22RC_{p,m} = \dfrac{{i+2}}{2} RCp,m​=2i+2​R。

热力学第一定律：Q=E2−E1+W=ΔE+W\begin{array}{rcl}Q&=&E_2-E_1+W\\&&=\Delta E+W\end{array}Q​=​E2​−E1​+W=ΔE+W​​

元过程中，为 dQ=dE+dW\mathrm{d}Q=\mathrm{d}E+\mathrm{d}WdQ=dE+dW​

约定系统对外界做功W>0W>0W>0 , 外界对系统做功W<0W<0W<0，系统从外界吸热Q>0Q>0Q>0 , , 系统向外界放热Q<0Q<0Q<0 。

系统对外界做功 W=∫V1V2pdVW=\int_{V_1}^{V_2}pdVW=∫V1​V2​​pdV

系统的热容量：

比热容（单位质量的热容） c=CMc=\frac{C}{M}c=MC​

摩尔热容(1mol 物质温度升高 1K 所吸收的热量) Cm=Cν=Mcν=μcC_m = \frac{C}{\nu}=\frac{Mc}{\nu}=\mu cCm​=νC​=νMc​=μc

定体摩尔热容（1mol 物质，在体积保持不变，温度升高 1K 所吸收的热量）CV,m=i2RC_{V,m}=\frac i2 RCV,m​=2i​R

定压摩尔热容（1mol 物质，在压强保持不变，温度升高 1K 所吸收的热量）Cp,m=i+22RC_{p,m}=\frac {i+2}2 RCp,m​=2i+2​R

摩尔热容比 γ=Cp,mCV,m=i+2i\gamma=\frac{C_{p,m}}{C_{V,m}}=\frac{i+2}{i}γ=CV,m​Cp,m​​=ii+2​

理想气体热力学能公式 E=MμCV,mTE=\frac M\mu C_{V,m}TE=μM​CV,m​T

理想气体等体过程：QV=ΔE=νCV,mΔT=νi2RΔTQ_V=\Delta E=\nu C_{V,m}\Delta T=\nu\frac i2R\Delta TQV​=ΔE=νCV,m​ΔT=ν2i​RΔT​

理想气体等压过程：ΔE=νCV,mΔT=νi2RΔT\Delta E=\nu C_{V,m}\Delta T=\nu\frac i2R\Delta TΔE=νCV,m​ΔT=ν2i​RΔT，Qp=νCp,mΔT=νi+22RΔTQ_p=\nu C_{p,m}\Delta T=\nu\frac {i+2}2R\Delta TQp​=νCp,m​ΔT=ν2i+2​RΔT

理想气体等温过程：ΔE=0\Delta E=0ΔE=0，QT=W=νRTln⁡V2V1=νRTln⁡p1p2Q_T=W=\nu RT\ln\frac{V_2}{V_1}=\nu RT\ln\frac{p_1}{p_2}QT​=W=νRTlnV1​V2​​=νRTlnp2​p1​​（其中 WWW 为气体做功）

绝热过程：dpp+γdVV=0\frac{dp}p+\gamma\frac{dV}V=0pdp​+γVdV​=0（其中 γ\gammaγ 为摩尔热容比）

pVγ=c1pV^\gamma=c_1pVγ=c1​

TVγ−1=c2TV^{\gamma-1}=c_2TVγ−1=c2​

pγ−1T−γ=c3p^{\gamma-1}T^{-\gamma}=c_3pγ−1T−γ=c3​（c1,c2,c3c_1,c_2,c_3c1​,c2​,c3​​ 均为常量）

注意，在 p−Vp-Vp−V​ 图中，绝热线应该比等温线更陡。

此外，课件上的多方过程由于不考，被我省略了。

循环过程：顺时针方向-正循环/热循环（对外做正功）；逆时针方向-逆循环/制冷循环（对外做负功）。在全过程中 ΔE=0\Delta E=0ΔE=0。

热机效率 η=∣W∣Q1=1−Q2Q1\eta=\frac{|W|}{Q_1}=1-\frac{Q_2}{Q_1}η=Q1​∣W∣​=1−Q1​Q2​​，其中 Q1Q_1Q1​ 为从高温热源吸收的热量，Q2Q_2Q2​ 为向低温热源放出的热量，均取正值，∣W∣=Q1−Q2|W|=Q_1-Q_2∣W∣=Q1​−Q2​

制冷系数 ω=Q2∣W∣=Q2Q1−Q2\omega=\frac{Q_2}{|W|}=\frac{Q_2}{Q_1-Q_2}ω=∣W∣Q2​​=Q1​−Q2​Q2​​

卡诺循环：准静态循环，只和两个恒温热库交换热量，由两个等温过程和两个绝热过程组成。

卡诺机的效率 η=1−T2T1\eta=1-\frac{T_2}{T_1}η=1−T1​T2​​，这也是实际热机可能效率的最大值。

卡诺制冷机的制冷系数 ωc=T2T1−T2\omega_c=\frac{T_2}{T_1-T_2}ωc​=T1​−T2​T2​​，这也是实际制冷剂可能制冷系数的最大值

热力学第二定律：

开尔文表述：不可能从单一热源吸取热量，使之完全变成有用的功而不产生其他影响。

克劳修斯表述： 不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他变化。

正循环-热机-热能转化为功

逆循环-制冷机-做功从而将冷库热量搬出去